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2008-12-04(Thu) 12:15| | トラックバック(-)| コメント(-)
集めて合わせて
ちょっと真面目な話。数学の話なんですが。
ブログに書く必要は無いんだけどさ。一日中頭から離れないから。
内容は随分拙いが…。
こんな命題どうなの。
有限集合 X とその任意の部分集合 A 、 B について以下の式が一般に成り立つか？
| X | は X の要素数、A - B は差集合を表す。
| X | - | A - B | ≧ | B |
差集合って
A - B = { x | A に含まれ、かつ B に含まれない x }
だよな？
そうしたら | A - B | = | A | - | B | が一般には成り立たないのは当然だよな？
B ⊆ A とは限らないもんね。いいんだよね？
当然、ってことでいいんだよね？
例えば、A = { 2 , 4 , 6 } 、 B = { 2 , 3 , 5 } だとするじゃん。
そうすると A - B = { 4 , 6 } じゃん。
そしたら | A - B | = 2 でもちろん 0 じゃないよな。
だよな…。
明らかに X ⊇ A ∪ B であるので | X | ≧ | A ∪ B |
ここで A ∪ B = ( A - B ) ∪ B より、| A ∪ B | = | ( A - B ) ∪ B |
A - B と B は差集合の定義より互いに素なので | ( A - B ) ∪ B | = | A - B | + | B |
したがって | X | ≧ | A ∪ B | = | ( A - B ) ∪ B | = | A - B | + | B | より
| X | ≧ | A - B | + | B | ⇔ | X | - | A - B | ≧ | B |
真、でファイナルアンサー？
あってる？なんかすごい違和感があるんだけど…。
関係ないけど、最近不動点定理に興味がわいてきたとです…。
ブログに書く必要は無いんだけどさ。一日中頭から離れないから。
内容は随分拙いが…。
こんな命題どうなの。
有限集合 X とその任意の部分集合 A 、 B について以下の式が一般に成り立つか？
| X | は X の要素数、A - B は差集合を表す。
| X | - | A - B | ≧ | B |
差集合って
A - B = { x | A に含まれ、かつ B に含まれない x }
だよな？
そうしたら | A - B | = | A | - | B | が一般には成り立たないのは当然だよな？
B ⊆ A とは限らないもんね。いいんだよね？
当然、ってことでいいんだよね？
例えば、A = { 2 , 4 , 6 } 、 B = { 2 , 3 , 5 } だとするじゃん。
そうすると A - B = { 4 , 6 } じゃん。
そしたら | A - B | = 2 でもちろん 0 じゃないよな。
だよな…。
明らかに X ⊇ A ∪ B であるので | X | ≧ | A ∪ B |
ここで A ∪ B = ( A - B ) ∪ B より、| A ∪ B | = | ( A - B ) ∪ B |
A - B と B は差集合の定義より互いに素なので | ( A - B ) ∪ B | = | A - B | + | B |
したがって | X | ≧ | A ∪ B | = | ( A - B ) ∪ B | = | A - B | + | B | より
| X | ≧ | A - B | + | B | ⇔ | X | - | A - B | ≧ | B |
真、でファイナルアンサー？
あってる？なんかすごい違和感があるんだけど…。
関係ないけど、最近不動点定理に興味がわいてきたとです…。
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